Question

4．如圖所示，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線y=$\sqrt{3}$x+2相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P，Q，T為橢圓C上不同的三點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，若直線PT，QT分別與x軸交于點(diǎn)M．N．求證：|OM|•|ON|為定值．

Answer 1

分析 （1）通過題意可知橢圓短半軸長為原點(diǎn)到直線y=$\sqrt{3}$x+2的距離，利用e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)P（t，$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），Q（t，-$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），M（m，0），N（n，0），聯(lián)立PM、NQ方程可得點(diǎn)T坐標(biāo)，代入橢圓C方程，計(jì)算即可．

解答 （1）解：∵原點(diǎn)到直線y=$\sqrt{3}$x+2的距離d=$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$1，
∴橢圓C的短半軸長b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由題可設(shè)P（t，$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），Q（t，-$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），M（m，0），N（n，0），
則直線PM的方程為：y=$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（t-m）}$（x-m），
直線NQ的方程為：y=-$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（t-n）}$（x-n），
聯(lián)立PM、NQ方程可得：T（$\frac{（m+n）t-2mn}{2t-（m+n）}$，$\frac{1}{2}$•$\frac{（n-m）\sqrt{4-{t}^{2}}}{2t-（m+n）}$），
∵點(diǎn)T在橢圓C上，
∴[$\frac{（m+n）t-2mn}{2t-（m+n）}$]²+4[$\frac{1}{2}$•$\frac{（n-m）\sqrt{4-{t}^{2}}}{2t-（m+n）}$]²=4，
化簡得：（4-mn）[t²-4（m+n）t+4mn]=0，
∴只需4-mn=0，即mn=4，
即|OM|•|ON|為定值．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．