【題目】對于,若數(shù)列滿足,則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項和滿足
?若存在,求出的通項公式;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”,并說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意得和,即可求解實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)公差為,則,得對均成立,即,即可得到結(jié)論;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的公比為,因為的每一項均為正整數(shù),且,得到,且,得到“”和“”為最小項,又由又因為不是“K數(shù)列”, 且“”為最小項,得出,所以或,分類討論即可得到結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由題意得,
,②
解①得 ;
解②得 或
所以,故實數(shù)的取值范圍是.
(Ⅱ)假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為,則,
由 ,得 ,
由題意,得對均成立,
即.
當(dāng)時,;
當(dāng)時,,
因為,
所以,與矛盾,
故這樣的等差數(shù)列不存在.
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的公比為,則,
因為的每一項均為正整數(shù),且,
所以,且.
因為,
所以在中,“”為最小項.
同理,在中,“”為最小項.
由為“K數(shù)列”,只需, 即 ,
又因為不是“K數(shù)列”, 且“”為最小項,所以, 即 ,
由數(shù)列的每一項均為正整數(shù),可得 ,
所以或.
當(dāng)時,, 則,
令,則,
又 ,
所以為遞增數(shù)列,即 ,
所以.
因為,
所以對任意的,都有,
即數(shù)列為“K數(shù)列”.
當(dāng)時,,則.因為,
所以數(shù)列不是“K數(shù)列”.
綜上:當(dāng)時,數(shù)列為“K數(shù)列”,
當(dāng)時,數(shù)列不是“K數(shù)列” .
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【題目】設(shè)P為橢圓1(a>b>0)上任一點,F1、F2為橢圓的焦點,|PF1|+|PF2|=4,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(≠0)與橢圓交于A、B兩點,若線段AB的中點C的直線yx上,O為坐標(biāo)原點.求△OAB的面積S的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=[x2﹣(a+4)x+3a+4]ex,
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)求證不等式(x3﹣6x2+10x)ex>10(lnx+1)成立.
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【題目】經(jīng)過多年的運作,“雙十一”搶購活動已經(jīng)演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié),某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費,對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足(其中,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費用),每一件產(chǎn)品的銷售價格定為元,假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?并求出最大利潤的值.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點(0, )作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點.
(Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)求證:A為線段BM的中點.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖象經(jīng)過,其導(dǎo)函數(shù)的圖象是斜率為,過定點的一條直線.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.
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【題目】交通擁堵指數(shù)是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通擁堵指數(shù)為,其范圍為,分別有五個級別:暢通;基本暢通;輕度擁堵;中度擁堵;嚴(yán)重?fù)矶?/span>.晚高峰時段(),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段,依據(jù)其交通擁堵指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示.
(Ⅰ)用分層抽樣的方法從交通指數(shù)在,,的路段中共抽取個路段,求依次抽取的三個級別路段的個數(shù);
(Ⅱ)從(Ⅰ)中抽出的個路段中任取個,求至少有個路段為輕度擁堵的概率.
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