Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，（a≠0）
（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（用a表示）
（2）若f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍
（3）若f（x）在（m，n）上既存在最大值又存在最小值，求m和n的取值范圍（用a表示）

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）對a分類討論，去掉絕對值，把函數(shù)化為二次函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）的結(jié)論即可得出；
（3）a≠0，f（x）=

x(x-a) x≥a x(a-x) x＜a

，分a＞0和a＜0兩種情況，分別畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象，根據(jù)題中要求，分別求出m、n的取值范圍．

解答： 解：（1）當x≥a時，f（x）=x（x-a）
∴a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[a，+∞），
a＜0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

a

2

），遞增區(qū)間是（

a

2

，+∞）
當x＜a時，f（x）=x（a-x），
∴a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

a

2

），遞減區(qū)間是（

a

2

，a），
a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，a）．
（2）由（1）可知若f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，則a＜0．
（3）a≠0，f（x）=

x(x-a) x≥a x(a-x) x＜a

．
①當a＞0時，f（x）的圖象如圖1所示：顯然函數(shù)f（x）在（-∞，a）上的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

．
由

y= a2 4 y=x(x-a)

，解得x=

1+ 2

2

a．
由于函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．
   圖1  圖2 
 
②當a＜0時，如圖2所示：顯然函數(shù)f（x）在（a，+∞）上的最小值為f（

a

2

）=-

a2

4

由

y=- a2 4 y=x(a-x)

解得 x=

1+ 2

2

a．
由于函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．