Question

12．已知三棱錐P-ABC的底面邊長為4$\sqrt{2}$的正三角形，PA=3，PB=4，PC=5，若0為△ABC的中心，則PO=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用題目給出的邊長通過余弦定理求角，再由余弦定理求得PO．

解答 解：如圖，
在△ABC中，連接BO并延長交AC于D，
∵O為△ABC的中心，∴BD為AC邊上的中線，
又AB=BC=AC=$4\sqrt{2}$，∴BD=$2\sqrt{6}$．
在△PAC中，∵PA=3，PC=5，AC=4$\sqrt{2}$，
∴$cos∠PCD=\frac{{5}^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}{2×5×4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$．
∴$P{D}^{2}={5}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×5×2\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{5}$=9．
∴$cos∠PBD=\frac{{4}^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}-9}{2×4×2\sqrt{6}}$=$\frac{31\sqrt{6}}{96}$．
在△PBO中，$P{O}^{2}={4}^{2}+（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}-2×4×\frac{4\sqrt{6}}{3}×\frac{31\sqrt{6}}{96}$=6．
∴PO=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查余弦定理的應用，考查空間想象能力和計算能力，是中檔題．