Question

（2010•黃岡模擬）已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱(chēng)y=f（x）滿(mǎn)足“a和性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]是否滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；
（2）若F（x）=kx+b，其中k≠0，x∈R滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”，則是否存在實(shí)數(shù)a，使得F（9）＜F（cos²θ+asinθ）＜F（1）對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]的反函數(shù)是g^-1（x）=-

x-1

-1，x∈[1，2]，所以g^-1（x+1）=-

x

-1，x∈[0，1]，由此能夠判斷函數(shù)g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]不滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”．
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=kx+b滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”，k≠0．所以F^-1（x）=

x-b

k

，x∈R，F(xiàn)^-1（x+2）=

x+2-b

k

，而F（x+2）=k（x+2）+b，x∈R，得反函數(shù)y=

x-b-2k

k

．由此入手能導(dǎo)出當(dāng)1＜a＜9使得F（cos²θ+asinθ）＜3對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立．

解答：解：（1）函數(shù)g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]的反函數(shù)是g^-1（x）=-

x-1

-1，x∈[1，2]
∴g^-1（x+1）=-

x

-1，x∈[0，1]
而g（x+1）=（x+2）²+1，x∈[-3，-2]
其反函數(shù)為y=-2-

x-1

，x∈[1，2]，
故函數(shù)g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]不滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”；（6分）
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=kx+b滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”，k≠0．
∴F^-1（x）=

x-b

k

，x∈R，
F^-1（x+2）=

x+2-b

k

，
而F（x+2）=k（x+2）+b，x∈R，
得反函數(shù)y=

x-b-2k

k

由“2和性質(zhì)”定義可知

x+2-b

k

=

x-b-2k

k

對(duì)x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，
即函數(shù)F（x）=-x+b，x∈R，在（-∞，+∞）上遞減，…（9分）
所以假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足F（9）＜F（cos²θ+asinθ）＜F（1），
即1＜cos²θ+asinθ＜9對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立，
它等價(jià)于

t2-at+8＞0 t2-at＜0

在t∈（0，1]上恒成立．
t²-at+8＞0，t∈（0，1]?a＜t+

8

t

，
易得a＜9．而t²-at＜0知a＞t所以a＞1．
綜合以上有當(dāng)1＜a＜9使得F（cos²θ+asinθ）＜3對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．本題型是高考的重點(diǎn)，解題時(shí)認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．