Question

設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則

2

a

+

3

b

的最小值為（　　）

Answer 1

分析：作出滿足約束條件的平面區(qū)域圖，利用目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，得到4a+6b=2，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式可得

2

a

+

3

b

的最小值．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線4x-y-10=0與直線x-2y+8=0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
∴4a+6b=2，即2a+3b=1，
∴

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（2a+3b）=13+6（

b

a

+

a

b

）≥13+12

b a • a b

=25，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

5

時(shí)取等號(hào)，
∴

2

a

+

3

b

的最小值為25．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．