Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-4x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由題意得方程f（x）=-4x兩個(gè)根是1，3，由韋達(dá)定理求得b=-4a-4，c=3a，可得f（x）=ax²-4（a+1）x+3a．再根據(jù)△=16（a+1）²-36a²=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由題意可得

12a2-16(a+1)2

4a

＞0，再由a＜0可得 a²+8a+4＞0，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由題意得方程f（x）=-4x兩個(gè)根是1，3，
即ax²+（b+4）x+c=0兩個(gè)根是1，3，故由韋達(dá)定理可得-

b+4

a

=4，

c

a

=3，∴b=-4a-4，c=3a，f（x）=ax²-4（a+1）x+3a．
再根據(jù)方程f（x）+6a=0，即ax²-4（a+1）x+9a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴△=16（a+1）²-36a²=0，解得a=-

2

5

，
∴f（x）=-

2

5

x²-

12

5

x-

6

5

．
（2）由于f（x）=ax²-4（a+1）x+3a 的最大值為正數(shù)，可得

12a2-16(a+1)2

4a

＞0，即

a2+8a+4

a

＜0，
再由a＜0可得 a²+8a+4＞0，求得 a＜-4-2

3

，或-4+2

3

＜a＜0，
即a的范圍是：{a|a＜-4-2

3

，或-4+2

3

＜a＜0 }．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．