Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-4x³-4x²-1．
（1）設(shè)g（x）=bx²-1，若方程f（x）=g（x）的解集恰好有3個(gè)元素，求b的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)對(duì)（m，n），使f（x-m）+g（x-n）為偶函數(shù)？如存在，求出m、n；如不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，求得b的取值范圍．
（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于m，n的方程組，解得即可．

解答： 解：（1）由f（x）=g（x）可得x²（x²-4x+4-b）=0，
由題意知此方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
此時(shí)x=0為方程的一實(shí)數(shù)根，則方程x²-4x+4-b=0應(yīng)有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根，
∴△＞0，且4-b≠0，
即（-4）²-4（4-b）＞0且b≠4，
解得b＞0且b≠4，
∴所求b的取值范圍是（0，4）∪（4，+∞）．
（2）解：f（x-m）+g（x-n）=x⁴-4x³（m+1）+2x²（3m²+6m-2+

b

2

）-2x（2m³+6m²+4m-bn）+m⁴+4m²+bn²-2為偶函數(shù)，
∴

m+1=0 2m3+6m2+4m-bn=0

解得

m=-1 bn=0

  
由（2）知b≠0
∴m=-1，n=0．

點(diǎn)評(píng)：以本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及一元二次方程根的存在性的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬中檔題．