Question

4．已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²-6x+b，a，b∈R，若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為12x+2y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若存在x∈（0，+∞），使得3lnx≥f′（x）+|2m-1|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的，利用導數(shù)的幾何意義求出a，求出切點坐標，代入函數(shù)的解析式，求出b然后求出函數(shù)的解析式．
（2）化簡g（x）=3lnx-3x²+3x+6，求出函數(shù)的導數(shù)求出極值點，判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值，然后轉化不等式求出m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-6，直線12x+2y-1=0的斜率為-6，…（1分）
由導數(shù)的幾何意義，f′（1）=-6，∴$a=-\frac{3}{2}$，…（2分）
∵當切點坐標為$（1，\;-\frac{11}{2}）$，∴$f（1）=-\frac{11}{2}$，∴b=1，…（3分）
∴f（x）=${x^3}-\frac{3}{2}{x^2}-6x+1$；…（4分）
（2）令g（x）=3lnx-f′（x），則g（x）=3lnx-3x²+3x+6，…（5分）
∴$g'（x）=\frac{3}{x}-6x+3=\frac{{-6{x^2}+3x+3}}{x}=-\frac{{6（x-1）（x+\frac{1}{2}）}}{x}$，…（7分）
令g′（x）=0，則x=1或$x=-\frac{1}{2}$，
在x=1附近，當x＞1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減；
當x＜1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增；
∵x＞0∴x=1時，函數(shù)g（x）在（0，+∞）內取得最大值g（1）=6；…（10分）
∵存在x∈（0，+∞），使得3lnx≥f′（x）+|2m-1|成立，
即使得3lnx-f′（x）≥|2m-1|成立，
∴|2m-1|≤6，…（12分）
∴$-\frac{5}{2}≤m≤\frac{7}{2}$．…（14分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，切線方程以及函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．