Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點、.

（1）當(dāng)時，求以為焦點，且過中點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點作直線交于點，記的外接圓為圓.

①求證:圓心在定直線上；

②圓是否恒過異于點的一個定點?若過，求出該點的坐標(biāo)；若不過，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)(2)①略②.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題意，，，求出，可得到方程；(2)①解法一：根據(jù)題意寫出的坐標(biāo)，線段的中垂線的交點就是圓心，將圓心坐標(biāo)代入中，可得證；解法二：設(shè)出一般方程，將三點的坐標(biāo)代入，聯(lián)立求解；②根據(jù)①，寫出圓系方程，聯(lián)立方程解得該定點.

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,

當(dāng)時, 的中點為，則                                   1分

而,所以，                                            2分

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                                           3分

 (Ⅱ)①解法一:易得直線，直線

可得,再由,得                      5分

則線段的中垂線方程為,                                         6分

線段的中垂線方程為,                                 7分

由,                                                    8分

解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為                              9分

經(jīng)驗證,該圓心在定直線上                                   10分

②由①可得圓C的方程為                  11分

該方程可整理為,

則由,解得或,                        13分

所以圓恒過異于點的一個定點,該點坐標(biāo)為                      14分

解法二: 易得直線，直線           5分

所以可得,                                            6分

再由,得                                               7分

設(shè)的外接圓的方程為,

則,                                   8分

解得圓心坐標(biāo)為,                                          9分

經(jīng)驗證,該圓心在定直線上                                10分

②由①可得圓C的方程為                    11分

該方程可整理為,

則由,解得或,                           13分

所以圓恒過異于點的一個定點,該點坐標(biāo)為                         14分

考點：橢圓的定義及基本性質(zhì)，三角形外接圓.