Question

如圖，已知橢圓C：+y²=1（a＞1）的上頂點為A，離心率為，若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標(biāo)．

Answer 1

解（Ⅰ）依題意有：e==①，a²-c²=b²=1②，
聯(lián)立①②解得：a=，c=，
則橢圓C的方程為+y²=1；
（Ⅱ）證明：由•=0，得到AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，
由A（0，1）可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，得到直線AQ的方程為y=-x+1（k≠0），
將y=kx+1代入橢圓C的方程+y²=1中，并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得：x=0或x=-，
∴P的坐標(biāo)為（-，-+1），即（-，），
將上式中的k換成-，同理可得Q（，），
∴直線l的方程為y=（x-）+，
整理得：直線l的方程為y=x-，
則直線l過定點N（0，-）．
分析：（Ⅰ）由橢圓的解析式得到b=1，再利用橢圓的性質(zhì)a²+b²=c²列出關(guān)系式，與e==聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到a與c的值，即可確定出橢圓的解析式；
（Ⅱ）由•=0，利用平面斜率數(shù)量積為0時兩向量垂直得到AP與AQ垂直，可得出AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A的坐標(biāo)設(shè)出直線AP的方程為y=kx+1，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1表示出直線AQ的方程，將y=kx+1代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐標(biāo)，將直線AQ方程代入橢圓方程，同理表示出Q的坐標(biāo)，由P與Q的坐標(biāo)，表示出直線l的兩點式方程，整理后可得出直線l恒過定點N（0，-）．
點評：此題考查了恒過定點的方程，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：橢圓的基本性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積運算，以及直線的兩點式方程，其計算性較大，是一道綜合性較強的試題．