Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線y=x+

6

與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F₁F₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓C上的左頂點(diǎn)，直線∫過右焦點(diǎn)F₂與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM，AN的斜率k₁，k₂滿足k₁+
k₂=-

1

2

，求直線MN的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），則G（

x0

3

，

y0

3

），由已知條件推導(dǎo)出a=2c，b=

| 6 |

1+1

=

3

由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l為y=k（x-1），直線l和橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．將y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線MN的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），則G（

x0

3

，

y0

3

）．…（2分）
又IG∥F₁F₂，yI=

y0

3

，|F₁F₂|=2c，
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)•

|y0|

3

．…（4分）
∴2c=

2a+2c

3

，故a=2c．
又直線y=x+

6

與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，
∴b=

| 6 |

1+1

=

3

，…（6分），
∴a=2，c=1．∴

x2

4

+

y2

3

=1．…（7分）
（Ⅱ）若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意；…（8分）
則直線l的斜率存在．
設(shè)直線l為y=k（x-1），直線l和橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
依題意：△=9k²+9＞0，…（10分）
由韋達(dá)定理知：

x1+x2= 8k2 3+4k x1x2= 4k2-12 3+4k2

，
又k_AM+k_AN=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=k（

x1-1

x1+2

+

x2-1

x2+2

）
=k[2-3（

1

x1+2

+

1

x2+2

）]，

1

x1+2

+

1

x2+2

=

x1+x2+4

x1x2+2(x1+x2)+4

=

8k2+4(3+4k2)

4k2-12+16k2+4(3+4k2)

=

2k2+1

3k2

，
從而k_AM+k_AN=k（2-3•

2k2+1

3k2

）=-

1

k

=-

1

2

，…（14分）
解得k=2，符合△＞0．
故所求直線MN的方程為：y=2（x-1）．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．