Question

設(shè)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4cos²x．
（Ⅰ）將函數(shù)f（x）化成Asin（ωx+Φ）+b（其中A＞0，ω＞0）的形式，并說出函數(shù)的周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]內(nèi)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換將函數(shù)f（x）化成Asin（ωx+Φ）+b（其中A＞0，ω＞0）的形式，并指出函數(shù)的周期．
（Ⅱ）根據(jù)條件以及正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]內(nèi)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4cos²x=2（sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

）+4•

1+cos2x

2

 
=

3

sin2x+3cos2x+2=2

3

sin（2x+

π

3

）+2，
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[

π

2

，π]，∴2x+

π

∈[

4π

3

，

7π

3

]，∴sin（2x+

π

3

）∈[-1，

3

2

]，∴f（x）∈[2-2

3

，5]．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．