Question

在△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AC=1，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A出發(fā)，沿周界運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿A→B→C；動(dòng)點(diǎn)Q沿A→C→B運(yùn)動(dòng)到相遇時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)Q的速度是動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，AP=x，△APQ的面積為y，求函數(shù)y=f（x）的解析式，并確定PQ在什么位置時(shí)S最大．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：計(jì)算題,閱讀型

分析：先根據(jù)點(diǎn)Q的位置進(jìn)行分類討論，然后分別求出三角形的面積，從而可得函數(shù)f（x）的解析式，再分別求出面積的最值，從而求出PQ在什么位置時(shí)S最大．

解答： 解：因?yàn)锳P=x，動(dòng)點(diǎn)Q的速度是動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，
所以AQ=3x，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，0＜x≤

1

3

時(shí)，三角形APQ為直角三角形，S=

1

2

x•3x=

3

2

x2；
當(dāng)點(diǎn)Q在線段CB上時(shí)，

1

3

＜x≤1時(shí)，作出示意圖如下：

△APQ的高為

BQ

BC

×AC=

3-3x

2

×1=

3-3x

2

，
所以S=

1

2

x•

3-3x

2

=

3x-3x2

4

；
當(dāng)Q在線段AB上時(shí)，不能構(gòu)成三角形，
所以函數(shù)f（x）=

3 2 x2，0＜x≤ 1 3 3x-3x2 4 ， 1 3 ＜x≤1

．
當(dāng)x=

1

3

時(shí)，函數(shù)f（x）=

3

2

x2取最大值

1

6

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=

3x-3x2

4

取最大值

3

16

．
當(dāng)點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)，Q在BC上，CQ=

1

2

時(shí)，f（x）取最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的求解，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．