Question

已知(

x

+

2

x2

)n的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：在展開式的通項(xiàng)中，令x=1得出第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式，由已知，求出n，再在通項(xiàng)中令x得指數(shù)為0，確定常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：展開式的通項(xiàng)為Tk+1=

C

k n

•(

x

)n-k•(

2

x2

)k=

C

k n

•2k•x

n-5k

2

第5項(xiàng)的系數(shù)為

C

4 n

•2⁴，第3項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 n

•22
由已知，得出

C

4 n

•2⁴：

C

2 n

•22=56：3，解得n=10
所以通項(xiàng)公式Tk+1=

C

k 10

(

x

)10-k(

2

x2

)k=

C

k 10

2kx5-

5

2

k，
當(dāng)k=2時(shí)，取到常數(shù)項(xiàng) 即T₃=180．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：求指定的項(xiàng)．牢記公式是基礎(chǔ)，方程思想是關(guān)鍵．