Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比是10：1
求：（1）展開(kāi)式中含x

3

2

的項(xiàng)
（2）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)
（3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得出第5項(xiàng)的系數(shù)，第3項(xiàng)的系數(shù)，得出關(guān)于n的方程解得n=8．令

8-r

2

-2r=

3

2

，解得r=1，從而得到展開(kāi)式中含x

3

2

的項(xiàng)；
（2）由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)得C₈⁴最大，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）而求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，可通過(guò)解不等式組求得，假設(shè)T_r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，T_r+1項(xiàng)的系數(shù)為r_k，則有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

解答：解：Tr+1=

C

r n

x

n-r

2

(-2)rx-2r（r=0，1，…n）
（1）第5項(xiàng)的系數(shù)為C_n⁴（-2）⁴，第3項(xiàng)的系數(shù)為C_n²（-2）²∴

C 4 n •16

C 2 n •4

=10，解得n=8．令

8-r

2

-2r=

3

2

，解得r=1
∴展開(kāi)式中含x

3

2

的項(xiàng)為(1)T2=-16x

3

2

-------------（4分）
（2）由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)得C₈⁴最大，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=

1120

x6

------（8分）
（3）先求(

x

+

2

x2

)8展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)
設(shè)第r項(xiàng)系數(shù)最大，則

C r 8 2r≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r≥ C r+1 8 2r+1

即

8! r!(8-r)! •2r≥ 8! (r-1)!(8-r+1)! •2r-1 8! r!(8-r)! •2r≥ 8! (r+1)!(8-r-1)! •2r+1

解得

r≤6 r≥5

，則r=5或r=6，故(

x

-

2

x2

)8中第7項(xiàng)系數(shù)最大，T7=

1792

x11

-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意把握x的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別．