Question

設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且4sin

C

2

cos（

π

3

-

C

2

）=

3

（1）求內(nèi)角C
（2）若c=

3

，且△ABC的面積為

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角形的面積公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）運(yùn)用積化和差公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可得到C；
（2）運(yùn)用余弦定理以及面積公式和正弦定理，計(jì)算即可得到所求值．

解答： 解：（1）4sin

C

2

cos（

π

3

-

C

2

）=

3

即為
sin

π

3

+sin（C-

π

3

）=

3

2

，即sin（C-

π

3

）=0，
由于C為三角形的內(nèi)角，則C=

π

3

；
（2）△ABC的面積為

3

2

，即有

1

2

absin

π

3

=

3

2

，
即有ab=2，
由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-2=3，
即a²+b²=5，
解得a=1，b=2或a=2，b=1．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
可得sinA+sinB=

a+b

2R

=

3sin π 3

3

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查積化和差公式，正弦定理和余弦定理以及面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．