Question

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，函數(shù)f（x）=sin（

π

2

+x）cos（A-x）（x∈R）的最大值為

2+ 3

4

．
（1）求角A的大小
（2）若△ABC面積的最大值為2+

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用積化和差公式，余弦函數(shù)的值域即可得到最大值，進(jìn)而求得A；
（2）運(yùn)用余弦定理和重要不等式可得bc，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到a．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

π

2

+x）cos（A-x）
=cosxcos（A-x）=

1

2

（cosA+cos（A-2x））≤

1

2

cosA，
則有

1

2

cosA=

2+ 3

4

，即cosA=

3

2

，
A為三角形的內(nèi)角，則A=

π

6

；
（2）由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos

π

6

≥2bc-

3

bc，
即bc≤（2+

3

）a²，
△ABC面積S=

1

2

bcsin

π

6

當(dāng)且僅當(dāng)b=c，S取得最大值

1

2

×(2+

3

)×

1

2

a²=2+

3

，
則有a²=4，即有a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查積化和差和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查余弦定理和面積公式以及重要不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．