Question

19．已知直線L：x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓C上不同的兩個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△OMN的面積S_△OMN的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，求出A，D的坐標(biāo)，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，表示出面積，再化簡(jiǎn)，即可求△OMN的面積S_△OMN的最大值．

解答 解：∵直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，
∴A（-2，0），D（0，1），
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)M（2cosα，sinα），N（2cosβ，sinβ），
則S_△MON=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$||$\overrightarrow{ON}$|sin＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{OM}{|}^{2}|\overrightarrow{ON}{|}^{2}-（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（1+3co{s}^{2}α）（1+3co{s}^{2}β）-（4cosαcosβ+sinαsinβ）^{2}}$
∴4S_△MON²=1+3cos²β+3cos²α+9cos²αcos²β-16cos²αcos²β-8sinαcosαsinβcosβ-sin²αsin²β
=1-cos²αcos²β-sin²αsin²β+3cos²β-3cos²αcos²β+3cos²α-3cos²αcos²β-8sinαcosαsinβcosβ
=sin²αcos²β+cos²αsin²β+3sin²αcos²β+3cos²αsin²β-8sinαcosαsinβcosβ
=4sin²αcos²β+4cos²αsin²β-8sinαcosαsinβcosβ
=4（sinαcosβ-cosαsinβ）²，
∴S_△MON=|sinαcosβ-cosαsinβ|=|sin（α-β）|，
∴△OMN的面積S_△OMN的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．