Question

15．證明：
（1）函數(shù)f（x）=x²+1在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{x}$在（-∞，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用單調(diào)性的定義得出f（x₁）-f（x₂）=x₁²+1-x₂²-1=（x₁+x₂）（x₁-x₂）．判斷因式得出f（x₁）＞f（x₂）即可證明．
（2）代入得出f（x₁）-f（x₂）=1$-\frac{1}{{x}_{1}}$-1$+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$．判斷因式符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性的定義判斷即可．

解答 證明：（1）設(shè)任意實(shí)數(shù)x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+1-x₂²-1=（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
∵任意實(shí)數(shù)x₁＜x₂＜0，
∴（x₁+x₂）＜0，（x₁-x₂）＜0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=x²+1在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（2）設(shè)任意實(shí)數(shù)x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=1$-\frac{1}{{x}_{1}}$-1$+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
任意實(shí)數(shù)x₁＜x₂＜0，
∴（x₁•x₂＞0，（x₁-x₂）＜0．
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{x}$在（-∞，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，關(guān)鍵是恒等變形必需徹底，判斷符號(hào)即可得出單調(diào)性，屬于容易題．