Question

3．在數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n=2n²-17n．
（1）求a_n；
（2）S_n取最小值時，求n．（用三種方法求a_n，a_n=S_n-S_n-1，S_n=$\frac{n{（a}_{1}{+a}_{n}）}{2}$，特殊值法）

Answer 1

分析 （1）解法一：由S_n=2n²-17n，可得當(dāng)n=1時，a₁=-15；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．
解法二：由S_n=2n²-17n可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，當(dāng)n=1時，a₁=-15；當(dāng)n=2時，a₁+a₂=-26，解得a₂，利用公差d=a₂-a₁．利用通項公式即可得出．
解法三：由S_n=2n²-17n可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，當(dāng)n=1時，a₁=-15；又S_n=2n²-17n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，解得a_n即可．
（2）由a_n=4n-19≤0，解得n，即可得出．

解答 解：（1）解法一：∵S_n=2n²-17n，∴當(dāng)n=1時，a₁=2-17=-15；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²-17n）-[2（n-1）²-17（n-1）]=4n-19．
當(dāng)n=1時，上式也成立．
∴a_n=4n-19．
解法二：由S_n=2n²-17n可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時，a₁=2-17=-15；
當(dāng)n=2時，a₁+a₂=2×2²-17×2=-26，∴a₂=-11，
∴公差d=a₂-a₁=-11-（-15）=4．
∴a_n=-15+4（n-1）=4n-19．
解法三：由S_n=2n²-17n可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時，a₁=2-17=-15；
又S_n=2n²-17n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（-15+{a}_{n}）}{2}$，解得a_n=4n-19．
（2）由a_n=4n-19≤0，解得n≤$\frac{19}{4}$=4+$\frac{3}{4}$，
∴n≤4，a_n＜0；n≥5，a_n＞0．
∴S_n取最小值時，n=4．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n和公式、遞推關(guān)系、一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．