Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=5，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{3}$，則向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的最大值為24．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，連接AB，AC，BC，便可得到$∠AOB=\frac{π}{3}$，$∠ACB=\frac{2π}{3}$，$|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{AB}|=5$，從而說明A，O，B，C四點共圓，這便有∠ABC=∠AOC．而根據(jù)條件可知∠ABC為定值，并由正弦定理可得到sin∠ABC=$\frac{3}{5}$，cos$∠ABC=\frac{4}{5}$，這便得到cos∠AOC=$\frac{4}{5}$，這樣便可知道只要$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|$取得最大值，這樣由$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=2\sqrt{3}$會得到$12={\overrightarrow{c}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{8}{5}|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$，由不等式${\overrightarrow{c}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|$即可求出$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|$的最大值，從而得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，且$∠AOB=\frac{π}{3}$，作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow$，∴$∠ACB=\frac{2π}{3}$，從而A，O，B，C四點共圓：
∴∠AOC=∠ABC；
在△ABC中，$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=2\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|=5$，$∠ACB=\frac{2π}{3}$；
由正弦定理得：$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sin∠ABC}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sin∠ACB}$；
∴$\frac{2\sqrt{3}}{sin∠ABC}=\frac{5}{sin\frac{2π}{3}}$；
∴sin∠ABC=$\frac{3}{5}$；
∴$cos∠ABC=\frac{4}{5}$；
∴$cos∠AOC=\frac{4}{5}$；
由$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=2\sqrt{3}$得：$12=|\overrightarrow{c}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|•\frac{4}{5}$=$|\overrightarrow{c}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\frac{8}{5}|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$$≥2|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|-\frac{8}{5}|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=$\frac{2}{5}|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$；
∴$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|≤30$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|•cos∠AOC$=$\frac{4}{5}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|≤24$；
∴向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值為24．
故答案為：24．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量夾角的概念，以及四點共圓的概念及判斷，正弦定理，向量數(shù)量積的計算公式，不等式a²+b²≥2ab在求最值時的運用．