Question

已知等差數(shù)列滿足a₁=1，a₃=6，若對任意的n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比數(shù)列，且b₁=4．
（1）求a_n，b_n
（2）設(shè)S_n=（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，n∈N*，證明：對任意的n∈N*，．

Answer 1

解：（1）設(shè)數(shù)列的公差d，依題意該數(shù)列的第一項為=1，第三項為，
∴2=1+（3-1）d，．
∴，
∴，
∵b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比數(shù)列，且b₁=4．
∴b_n•b_n+1=4a_n+1²，
∴b_n•b_n+1=（n+2）²（n+1）²，
∴=1，n∈N^*．
令，
則c_nc_n+1=1，∴，且c_n≠0．
∵=，
∴，
∴，
∴b_n=（n+1）²．
（2）當(dāng)n是偶數(shù)時，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²
=5+9+13+…+（2n+1）
=．
∴==，
∴．
當(dāng)n是奇數(shù)時，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-8²+…+n²-（n+1）²
=5+9+13+…+（2n-1）-（n+1）²
=
∴=═，
∴．
綜上所述，對任意的n∈N^*，．
分析：（1）設(shè)數(shù)列的公差d，依題意該數(shù)列的第一項為=1，第三項為，所以．由此能求出．由b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比數(shù)列，且b₁=4．知b_n•b_n+1=4a_n+1²，，n∈N^*．由此能求出b_n=（n+1）²．
（2）當(dāng)n是偶數(shù)時，S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²=．所以．當(dāng)n是奇數(shù)時，=，所以，綜上所述，對任意的n∈N^*，．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和證明對任意的n∈N^*，．解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和分類討論思想的合理運用．計算量大，容易出錯，要注意計算能力的培養(yǎng)．