Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱
B．y=f（x）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱
C．f（x）的最大值為
D．f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于A選項(xiàng)，用中心對(duì)稱的充要條件，直線驗(yàn)證f（2π-x）+f（x）=0是否成立即可判斷其正誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，用軸對(duì)稱的條件直線驗(yàn)證f（π-x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，可將函數(shù)解析式換為f（x）=2sinx-2sin³x，再換元為y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最值即可判斷正誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，可利用奇函數(shù)的定義與周期函數(shù)的定義直接證明．
解答：解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閒（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閒（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的圖象關(guān)于x=不對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，則y=2t-2t³，t∈[-1，1]，則y′=2-6t²，令y′＞0解得，故y=2t-2t³，在[]上增，在[]與[]上減，又y（-1）=0，y（）=，故函數(shù)的最大值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閒（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數(shù)，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數(shù)的周期，所以函數(shù)即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)
，故D正確
綜上知，錯(cuò)誤的結(jié)論只有C，
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的中心對(duì)稱性，軸對(duì)稱性的條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)奇偶性與周期性的判定，涉及到的知識(shí)較多，綜合性強(qiáng)，知識(shí)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換快，易導(dǎo)致錯(cuò)誤