Question

11．設(shè)向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$滿足：|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-$\frac{1}{2}$，＜$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$＞=60°，則|${\overrightarrow c}$|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$夾角的大小，畫出圖形表示$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$，$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，求出|$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$|的值，再根據(jù)正弦定理求出三角形外接圓的直徑，即為OC的最大值．

解答 解：由題意可得|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{1}{2}$，∴1×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=120°．
＜$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$＞=60°，∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，∵${\overrightarrow{AB}}^{2}$=${（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}^{2}$=3．
∵∠ACB+∠AOB=60°+120°=180°，∴A、O、B、C四點(diǎn)共圓，
∴OC=2R，R為該圓的半徑．
△AOC中，由正弦定理可得2R=$\frac{OA}{sin∠ACO}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)OC是∠AOB的平分線時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，2R=OC，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，求向量的模，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．