Question

已知直線x=t交拋物線y²=4x于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得AC⊥BC，則t的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由已知條件知A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)A（t，-2

t

），點(diǎn)B（t，2

t

），點(diǎn)C為（c，2

c

），再由AC⊥BC，知k_AC•k_BC=-1，由此能求出t的取值范圍．

解答： 解：∵y²=4x＞0，直線x=t交拋物線y²=4x于A，B兩點(diǎn)，
∴y²=4x=4t＞0，
∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)點(diǎn)A（t，-2

t

），點(diǎn)B（t，2

t

），點(diǎn)C為（c，2

c

），c≠t
則kAC=

2( c + t )

c-t

，kBC=

2( c - t )

c-t

，
∵AC⊥BC，
∴k_AC•k_BC=-1，
即

2( c + t )

c-t

•

2( c - t )

c-t

=

4

c-t

=-1，
∴t=4+c，
∵c≥0，∴t≥4，
∴t的取值范圍為[4，+∞）．
故答案為：[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)t的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，要注意直線垂直的條件的合理運(yùn)用．