Question

已知m∈R，設(shè)p：不等式|m²-5m-3|≥3；q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+）x+6在（-∞，+∞）上有極值．求使p且q為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

解：由已知不等式得
m²-5m-3≤-3①
或m²-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5；
不等式②的解為m≤-1或m≥6．
所以，當(dāng)m≤-1或0≤m≤5或m≥6時(shí)，p為真命題．
對函數(shù)f（x）=求導(dǎo)得，
f′（x）=3x²+2mx+m+
令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+=0，
當(dāng)且僅當(dāng)△＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
所以，當(dāng)m＜-1或m＞4時(shí)，q為真命題．
綜上所述，使p且q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為
（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．
分析：對于P命題要利用含絕對值不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，并準(zhǔn)確利用一元二次不等式求出m的范圍；對于q命題利用導(dǎo)函數(shù)的圖象為二次函數(shù)，進(jìn)而得到原來函數(shù)在實(shí)數(shù)集有極值的m的范圍，再利用復(fù)合命題真假值表即可求解
點(diǎn)評：該題重點(diǎn)考查了復(fù)合命題真假值表，另外又考了含絕對值不等式及一元二次不等次解法，在q命題真假的判斷上有考查了導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的一元三次函數(shù)在實(shí)數(shù)集R存在極值的充要條件