Question

已知命題p：曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1（5＜m＜9）與x²+y²=

m

2

至少有兩個(gè)交點(diǎn)．命題q：直線y=x+m與曲線y=

36-x2

有公共點(diǎn)．若p或q是真命題，p∧q是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：分別求出命題p，q為真命題時(shí)的取值范圍，然后利用若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：命題p為真命題，∵曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1（5＜m＜9）為交點(diǎn)在x軸的雙曲線，x²+y²=

m

2

至少有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴9-m≤

m

2

，
解得m≥6，
∵5＜m＜9，
∴6≤m＜9
∴￢p時(shí)，5＜m＜6；
命題q為真命題，∵直線y=x+m與曲線y=

36-x2

有公共點(diǎn)，圖象如圖所示
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，即

|m|

2

=6時(shí)，m=6

2

，當(dāng)直線過點(diǎn)（6，0）時(shí)，m=-6，
∴-6≤m≤6

2

，
∴￢q時(shí)，m＜-6，或m＞6

2

，
∵p或q是真命題，p∧q是假命題
∴p和q一真一假，
若p真q假，則6

2

＜m＜9．
若p假q真，則5＜m≤6

2

．
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是（5，9）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假與簡(jiǎn)單命題真假之間的關(guān)系，以及雙曲線與圓，圓與直線的位關(guān)系，屬于中檔題