Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1，點M是棱PC的中點．
（1）求證：PB⊥面AMD；
（2）求三棱錐C-AMD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB中點N，連接AN，證明PB⊥平面MNAD，即可證明PB⊥面AMD；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C-AMD的體積．

解答： （1）證明：取PB中點N，連接AN，則
∵點M是棱PC的中點，
∴MN∥BC，
∵AD∥BC，
∴MN∥AD，
∴四邊形MNAD是梯形．
∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，N是PB中點，
∴PB⊥AN，
∵AD⊥AB，AD⊥PA，PA∩AB=A，
∴AD⊥PB，
∵AD∩AN=A，
∴PB⊥平面MNAD，
∴PB⊥面AMD；
（2）解：∵S_△ACD=

1

2

×1×1=

1

2

，M到平面ACD的距離為

1

2

，
∴三棱錐C-AMD的體積=V_M-ACD=

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

12

．

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐C-AMD的體積，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．