Question

在三角形ABC中：
（1）若A+B=

π

4

，求（1+tanA）（1+tanB）的值．
（2）若lgtanA+lgtanC=2lgtanB，求證：

π

3

≤B＜

π

2

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數

專題：解三角形

分析：（1）利用正切的兩角和公式求得tanA和tanB的關系式，進而化簡整理即可求得（1+tanA）（1+tanB）的值．
（2）利用對數的運算法則和已知條件分別求得tanAtanB和tanA+tanB的表達式，利用構造方程根據判別式大于等于0求得tanB的范圍，進而求得B的范圍．

解答： 解：（1）由A+B=

π

4

得tan（A+B）=1即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，
即tanA+tanB=1-tanAtanB，
即tanAtanB+tanA+tanB=1，
即tanA（tanB+1）+（tanB+1）=2，
即（tanB+1）（tanA+1）=2，
即（1+tanA）（1+tanB）=2，
（2）由已知得：A，B，C都為銳角，tanA•tanC=tan²B，
∵tanA=-tan(B+C)=-

tanB+tanC

1-tanB•tanC

，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
∴tanA+tanC=tan³B-tanB，
∴tanA，tanC是方程x²-（tan³B-tanB）x+tan²B=0的兩個實根，
∴△=（tan³B-tanB）²-4tan²B≥0，
即tan²B（tan²B-1）²-4tan²B≥0，
即（tan²B-1）²-4≥0，
即tan²B≥3或tan²B≤-1（舍去），
又因為B為銳角，所以tanB≥

3

．
所以

π

3

≤B＜

π

2

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用．考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用．