Question

有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合．用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱其湖水污染質(zhì)量分數(shù)），g（0）表示湖水污染初始質(zhì)量分數(shù)．
（1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質(zhì)量分數(shù)；
（2）分析時，湖水的污染程度如何．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)湖水污染質(zhì)量分數(shù)為一個常數(shù)，可以設(shè)0≤t₁＜t₂，必有g(shù)（t₁）=g（t₂），因式分解得關(guān)于g（0）的方程，解這個方程可得；
（2）設(shè)0＜t₁＜t₂，利用作差將所得式子因式分解，再根據(jù)已知條件討論這個差的正負，可得g（t₁）＜g（t₂），可得函數(shù)為增函數(shù)，所以隨著時間的推移，湖水污染越來越嚴重．
解答：解：（1）設(shè)0≤t₁＜t₂，
因為g（t）為常數(shù)，g（t₁）=g（t₂），即，則；
（2）設(shè)0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=
=
因為，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
故隨著時間的推移，湖水污染越來越嚴重．
點評：本題考查含有字母參數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究，屬于中檔題．在求值和討論單調(diào)性時，應(yīng)該注意因式分解技巧的應(yīng)用．