Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

，下面有四個(gè)結(jié)論，其中正確的為

④

．
①f（x）為奇函數(shù)；②當(dāng)x＞2008時(shí)，f（x）＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運(yùn)用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④運(yùn)用sin²x=

1-cos2x

2

進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用cos2x和（

2

3

）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．

解答：解：y=f（x）的定義域?yàn)閤∈R，且f（-x）=sin²（-x）-(

2

3

)|-x|+

1

2

=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此結(jié)論①錯(cuò)．
對(duì)于結(jié)論②，取特殊值當(dāng)x=1000π時(shí)，x＞2008，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此結(jié)論②錯(cuò)．
又f（x）=

1-cos2x

2

-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即結(jié)論③錯(cuò)．
而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0時(shí)同時(shí)取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0時(shí)可取得最小值-

1

2

，即結(jié)論④是正確的．
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時(shí)還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問(wèn)題，此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識(shí)對(duì)函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷．