Question

直線l：bx+ay-2a=0與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程是

y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2

．

Answer 1

分析：當(dāng)a=0時(shí)，由直線方程知b≠0，直線是y軸，與雙曲線由兩個(gè)交點(diǎn)，不和題意．當(dāng)a≠0時(shí)，化一般式為斜截式，和雙曲線方程聯(lián)立后得到關(guān)于x的方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，求出a，b的關(guān)系，得到直線方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，由判別式等于0，求出b=0，得另一直線的方程．

解答：解：當(dāng)a=0時(shí)，b≠0，直線l：bx+ay-2a=0化為x=0，與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1有2個(gè)公共點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，直線l：bx+ay-2a=0化為y=-

b

a

x+2．
聯(lián)立

y=- b a x+2 - x2 9 + y2 4 =1

，得（9b²-4a²）x²-36abx=0．
若9b²-4a²=0，即

b

a

=±

2

3

，方程（9b²-4a²）x²-36abx=0有一解，
即直線l：bx+ay-2a=0與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)直線l的方程為y=-

2

3

x+2或y=

2

3

x+2；
若9b²-4a²≠0，由△=1296a²b²=0，得b=0．
此時(shí)直線l：bx+ay-2a=0化為y=2，與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)；
綜上，直線l：bx+ay-2a=0與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為：
y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2．
故答案為：y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用判別式法分析方程解得個(gè)數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是明確a，b不能同時(shí)為0．此題是中檔題．