Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）令 ，只要滿足對(duì)任意 都有 ，對(duì) 分情況討論即可；

（2）對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形，結(jié)合（1）中結(jié)論即可得證.

試題解析：（Ⅰ）令，則，，

①當(dāng)時(shí)，由于，有，

于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即；

②當(dāng)時(shí)，由于，有，

于是在上單調(diào)遞減，從而，

因此在上單調(diào)遞減，即不符；

③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，

，于是在上單調(diào)遞減，

從而，因此在上單調(diào)遞減，

即而且僅有不符.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(Ⅱ)對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：

對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立，等價(jià)變形

相當(dāng)于（2）中，的情形，

在上單調(diào)遞減，即；

取，得：都有成立；

令得證．