Question

3．在極坐標(biāo)系中，求適合下列條件的直線或圓的極坐標(biāo)方程：
（1）過(guò)極點(diǎn)，傾斜角是$\frac{π}{3}$的直線；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{π}{3}$），并且和極軸垂直的直線；
（3）圓心在A（1，$\frac{π}{4}$），半徑為1的圓；
（4）圓心在（a，$\frac{π}{2}$），半徑為a的圓．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：直線的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）；
（2）由已知可得：直線極坐標(biāo)方程為：$\frac{1}{ρ}=cosθ$；
（3）圓心A（1，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標(biāo)A$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，圓的直角坐標(biāo)方程為：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，展開(kāi)利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為極坐標(biāo)方程；
（4）由已知可得：極坐標(biāo)方程為：ρ=2asinθ．

解答 解：（1）過(guò)極點(diǎn)，傾斜角是$\frac{π}{3}$的直線的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{π}{3}$），并且和極軸垂直的直線極坐標(biāo)方程為：$\frac{1}{ρ}=cosθ$，即ρcosθ=1；
（3）圓心在A（1，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標(biāo)A$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，圓的直角坐標(biāo)方程為：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，展開(kāi)為x²+y²-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0，化為極坐標(biāo)方程為：${ρ}^{2}-\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$=0，即ρ=$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）；
（4）圓心在（a，$\frac{π}{2}$），半徑為a的圓，其極坐標(biāo)方程為：ρ=2asinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程方法、直線與圓的極坐標(biāo)方程，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．