Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ +b，其中a，b是常數(shù)且a＞0．
（1）用函數(shù)單調性的定義證明f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調遞減函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，+∞）上是單調遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證法一：∵函數(shù)f（x）=x+ +b，其中a，b是常數(shù)且a＞0，

任取設0＜x1＜x2≤ ，

則x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜a，

f（x1）﹣f（x2）=（x1+ +b）﹣（x2+ +b）=（x1﹣x2）﹣ =（x1﹣x2） ＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調遞減函數(shù)；

證法二：∵函數(shù)f（x）=x+ +b，其中a，b是常數(shù)且a＞0，

∴f′（x）=1﹣ = ，

當x∈（0， ]時，f′（x）≤0恒成立，

故f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調遞減函數(shù)

（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，+∞）上是單調遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，

當a≤1時，即 ，解得：a=﹣2（舍去）；

當1＜a≤2.25時，即 ，解得：a=0（舍去），或：a=16（舍去）；

當2.25＜a＜4時， ，解得：a=3+2 （舍去），

當a≥4時，即 ，解得：a=6；

綜上可得：a=6

【解析】（1）證法一：任取設0＜x1＜x2≤ ，作差比較可得f（x1）＞f（x2），結合函數(shù)單調性的定義，可得：f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調遞減函數(shù)；證法二：求導，分析出當x∈（0， ]時，f′（x）≤0恒成立，故f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調遞減函數(shù)；（2）結合對勾函數(shù)的圖象和性質，分析函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上f（x）的最值，可求出滿足條件的a值．
【考點精析】掌握函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x/span>1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�