Question

已知函數(shù) f（x）=3x²-6x-5．
（Ⅰ）求不等式 f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m（m∈R），記區(qū)間D=（1-m，m+15），若不等式g（x）＜0的解集為M，且D∩M=∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）不等式 f（x）＞4
即3x²-6x-9＞0
解得x＞3，或x＜-1
∴不等式 f（x）＞4的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）
（II）若不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，
即不等式2x²+2ax-5-a＜0在x∈[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+2ax-5-a
則，即
解得a＜
（III）∵g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m=x²+（m-6）x-6m
∴當g（x）=0時，x=6，或x=-m
當-m＞6，即m＜-6時，不等式g（x）＜0的解集M=（6，-m）
∵D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，
∴，
∴-7＜m＜-6
當-m=6，即m=-6時，不等式g（x）＜0的解集M=∅
滿足D∩M=∅，
當-m＜6，即m＞-6時，不等式g（x）＜0的解集M=（-m，6）
∵D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，
∴，
∴-6＜m≤-5
綜上可得實數(shù)m的取值范圍為-7＜m≤-5
分析：（I）根據(jù)已知中函數(shù)解析式，化簡不等式 f（x）＞4，進而根據(jù)二次不等式的解法，可得不等式 f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）根據(jù)已知中函數(shù)解析式，化簡不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間[1，3]上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間兩端點的函數(shù)值均為負，構(gòu)造不等式組，可得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)已知中函數(shù)解析式，化簡不等式g（x）＜0，結(jié)合D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，分類討論求出滿足條件的實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的恒成立問題，一元二次不等式的解法，函數(shù)的交集運算，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能用之解答一元二次不等式問題是解答的關(guān)鍵．