Question

（2013•唐山一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD丄底面ABCD，．∠APD=90°
（I ）求證：平面PAB丄平面PCD
（II）如果 AB=BC=2，PB=PC=

6

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合CD⊥AD，證出CD⊥側(cè)面PAD，得CD⊥PA．根據(jù)PA⊥PD且CD∩PD=D，證出PA⊥平面PCD，再由面面垂直判定定理，即可證出平面PAB⊥平面PCD
（II）作PO⊥AD，垂足為O，則PO⊥平面ABCD，可得PO就是四棱錐P-ABCD的高線．根據(jù)PB=PC得到OB=OC，由四邊形ABCD是正方形且邊長為2算出OB=

5

，在Rt△OPB中利用勾股定理算出PO=1．最后利用錐體體積公式結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可得到四棱錐P-ABCD的體積V=

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵四棱錐P-ABCD的底面是矩形，∴CD⊥AD，
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，CD?底面ABCD
∴CD⊥側(cè)面PAD，結(jié)合PA?側(cè)面PAD，可得CD⊥PA．
又∵∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，且CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD．
∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ）如圖，作PO⊥AD，垂足為O，則PO⊥平面ABCD．
連結(jié)OB，OC，可得PO⊥OB且PO⊥OC．
∵PB=PC，∴Rt△POB≌Rt△POC，可得OB=OC．
根據(jù)題意，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)．…（7分）
在Rt△OAB中，AB=2，OA=1，可得OB=

AB2+OA2

=

5

．
在Rt△OPB中，PB=

6

，OB=

5

，可得PO=

PB2+OB2

=1．…（10分）
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×S_ABCD×PO=

1

3

×2²×1=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出側(cè)面為等腰三角形，且該側(cè)面與底面正方形垂直的四棱錐，求證線線垂直并求錐體的體積，著重考查了正方形的性質(zhì)，線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．