Question

（2013•寧德模擬）已知P是函數(shù)y=f（x）（x∈[m，n]）圖象上的任意一點(diǎn)，M、N為該圖象的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)Q滿(mǎn)足

MQ

=λ

MN

，

PQ

•i=0（其中0＜λ＜1，

i

為x軸上的單位向量），若|

PQ

|≤T（T為常數(shù)）在區(qū)間[m，n]上恒成立，則稱(chēng)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上具有“T級(jí)線(xiàn)性逼近”．現(xiàn)有函數(shù)：①y=2x+1；②y=

1

x

；③y=x²．則在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級(jí) 線(xiàn)性逼近”的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由

MQ

=λ

MN

，可得Q點(diǎn)在線(xiàn)段MN上，由

PQ

•

i

=0，可得P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，故|

PQ

|即為P，Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，分析三個(gè)函數(shù)中，x∈[1，2]時(shí)，|

PQ

|≤

1

4

是否恒成立，可得答案．

解答：解：由

MQ

=λ

MN

，可得Q點(diǎn)在線(xiàn)段MN上，由

PQ

•

i

=0，可得P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，故|

PQ

|即為P，Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，
當(dāng)f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，則M（1，3），N（2，5），函數(shù)y=f（x）的圖象即為線(xiàn)段MN，故|

PQ

|=0≤

1

4

恒成立，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)f（x）=

1

x

時(shí)，則M（1，1），N（2，

1

2

），線(xiàn)段MN的方程為y=-

1

2

x+

3

2

，此時(shí)|

PQ

|=-

1

2

x+

3

2

-

1

x

，則|

PQ

|′=-

1

2

+

1

x2

，令|

PQ

|′=0，則x=

2

，故當(dāng)x=

2

時(shí)，|

PQ

|取最大值

3

2

-

2

，故|

PQ

|≤

1

4

恒成立，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)f（x）=x²．則M（1，1），N（2，4），線(xiàn)段MN的方程為y=3x-2，此時(shí)|

PQ

|=-x²+3x-2，當(dāng)x=

3

2

時(shí)，|

PQ

|取最大值

1

4

，故|

PQ

|≤

1

4

恒成立，滿(mǎn)足條件；
故在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級(jí)線(xiàn)性逼近”的函數(shù)的個(gè)數(shù)為3個(gè)
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的值域，正確理解“T級(jí)線(xiàn)性逼近”定義，是解答的關(guān)鍵．