Question

在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求平面A₁DB與平面DBB₁夾角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連接AB₁交A₁B與點E，則E為A₁B的中點，連接DE，B₁C，由三角形中位線定理可得B₁C∥DE，進(jìn)而由線面平行的判定定理可得B₁C∥平面A₁BD；
（2）建立空間直線坐標(biāo)系D-xyz，求出平面A₁BD的一個法向量和平面DBB₁的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（1）連接AB₁交A₁B與點E，則E為A₁B的中點，連接DE，B₁C，
∵D是AC的中點
∴B₁C∥DE，
又∵B₁C?平面A₁BD，DE?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD…（4分）
（2）取A₁C₁中點F，D為AC中點，則DF⊥平面ABC，
又AB=BC，
∴BD⊥AC，
∴DF、DC、DB兩兩垂直，
建立如圖所示空間直線坐標(biāo)系D-xyz，
則D（0，0，0），B（0，2

2

，0），A₁（-1，0，3）
設(shè)平面A₁BD的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
由

A1B

=(1，2

2

，-3)，

A1D

=(1，0，-3)
得

m • A1B =0 m • A1D =0

⇒

x+2 2 y-3z=0 x-3z=0

取x=3，則z=1，y=0，
∴

m

=(3，0，1)…（8分）
設(shè)平面A₁DB與平面DBB₁夾角的夾角為θ，平面DBB₁的一個法向量為

n

=(1，0，0)，…（10分）
則cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

3 10

10

∴平面A₁DB與平面DBB₁夾角的余弦值為

3 10

10

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何，直線與平面平行的判斷，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．