(2012•鄭州二模)已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx.
(I)當(dāng)a=
1
2
時(shí),求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(II)若函數(shù)g(x)=f(x)-
1
4
x在[1,e]上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得函數(shù)的極值與最值;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù)g′(x)=
-ax2+4ax-4
4ax2
(a>0)
,構(gòu)造函數(shù)h(x)=-ax2+4ax-4,由題意知,只需h(x)≥0在[1,e]上恒成立,從而可求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=
1
2
時(shí),f′(x)=
x-2
x2
(x>0),
∴當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(2,e]時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,在(2,e]上單調(diào)遞增,
∴f(x)在區(qū)間[1,e]上有唯一極小值點(diǎn),
故f(x)min=f(x)極小值=f(2)=ln2-1.
又∵f(1)=0,f(e)=
2-e
e
<0

∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值為f(x)max=f(1)=0.
綜上可知,函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln2-1.
(Ⅱ)∵g(x)=f(x)-
1
4
x,
∴g′(x)=
-ax2+4ax-4
4ax2
(a>0)
,
設(shè)h(x)=-ax2+4ax-4,由題意知,只需h(x)≥0在[1,e]上恒成立,
因?yàn)閍>0,h(x)圖象的對(duì)稱軸為x=2,
所以只需h(1)=3a-4≥0,所以a≥
4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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(2012•鄭州二模)已知a∈(-
π
2
,0),sina=-
3
5
,則tan(π-a)=
3
4
3
4

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,0),sinα=-
3
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-
4
5
-
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