Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別是F₁和F₂，離心率e=

2

2

，且a²=2c．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直線的方程．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用,橢圓的標準方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用離心率公式及條件，以及a，b，c的關(guān)系，列出方程組，即可得到a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)過點F₁（-1，0）的直線l：y=k（x+1），由

y=k(x+1) x2+2y2=2

消去y，得到二次方程，運用韋達定理，以及平面向量的坐標運算和向量的模的公式，即可解得k=±1，注意檢驗判別式是否大于0．

解答： 解：（1）由于離心率e=

2

2

，且a²=2c，
則

c

a

=

2

2

，且a²=2c，解得a=

2

，c=1．
則b²=a²-c²=1，
故橢圓的標準方程為

x2

2

+y²=1；
（2）設(shè)過點F₁（-1，0）的直線l：y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2+2y2=2

消去y，得，（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)M（x₁．y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

，
由于F₂（1，0），|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，
則

F2M

=（x₁-1，y₁），

F2N

=（x₂-1，y₂），
即有（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²=

4×26

9

，
即有（-

4k2

1+2k2

-2）²+（

2k

1+2k2

）²=

104

9

，
解得k²=1．檢驗：△=16k⁴-4（1+2k²）（（2k²-2）=16＞0，
故k=±1．
則直線l的方程為：y=x+1或y=-x-1．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到二次方程，運用韋達定理，同時考查平面向量的坐標運算，屬于中檔題．