Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A、y=

  1

  x

• B、y=2^-x*
• C、y=lg

  1-x

  1+x

• D、y=-|x|

Answer 1

分析：選項(xiàng)中的四個(gè)函數(shù)分別是指數(shù)型的，反比例函數(shù)，對(duì)數(shù)型函數(shù)，以及一次絕對(duì)值函數(shù)，根據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每個(gè)函數(shù)的進(jìn)行驗(yàn)證即可找出正確選項(xiàng)．

解答：解：對(duì)于選項(xiàng)A，y=

1

x

是一個(gè)反比例函數(shù)，其在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，但在整個(gè)定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故A不對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)B，y=2^-x*無(wú)法判斷其奇偶性，故B不正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，y=lg

1-x

1+x

的定義域?yàn)?1＜x＜1，且為奇函數(shù)，令u=

1-x

1+x

，則u′=-

2

(1+x)2

＜0，所以y=lg

1-x

1+x

在定義域上為減函數(shù)．故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)y=-|x|的圖象為一折線，在整個(gè)定義域上不是單調(diào)函數(shù)，且是偶函數(shù)，故D不正確．
由上分析知，選項(xiàng)C是正確的．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查基本函數(shù)單調(diào)性的判斷與其奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性與單調(diào)性是函數(shù)的兩個(gè)非常重要的性質(zhì)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖象，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成中心對(duì)稱(chēng)圖形，具有奇偶性的函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上奇函數(shù)的單調(diào)性相同，而偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上相反，熟練掌握這些知識(shí)，可以迅速準(zhǔn)確地做出正確判斷．