已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面,AC=BC,點D是AB的中點．

(1)求證：BC1∥平面CA1D；
(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB1=求三棱錐B1-A1DC的體積．

（1）見解析；（2）見解析；（3）1.

解析試題分析：證明（1）連接AC1交A1C于點E，連接DE
因為四邊形AA1C1C是矩形，知E為AC1的中點
又D是AB的中點，得到DE∥BC1，
從而可得BC1∥面CA1.
證明（2）由AC=BC，D是AB的中點，得AB⊥CD，
由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，
從而CD⊥面AA1B1B，進一步得平面CA1D⊥平面AA1B1B.
（3）利用，可求得體積.
試題解析：證明（1）連接AC1交A1C于點E，連接DE
因為四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點
又D是AB的中點，DE∥BC1，
又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1    (４分)
證明（2）AC=BC，D是AB的中點，AB⊥CD，
又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，
AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，
平面CA1D⊥平面AA1B1B        (８分)

（3）解：,則（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,,      (1２分)
考點：平行關(guān)系，垂直關(guān)系，幾何體的特征，幾何體的體積.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
底面邊長為2的正三棱錐,其表面展開圖是三角形，如圖，求△的各邊長及此三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G．
(l)求證：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線段AE上的動點．
（1）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面MDF將幾何體ADE－BCF分成的兩部分的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，，是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求五面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形ABEF中，，，講DCEF沿CD折起，使得，得到一個幾何體，

（1）求證：平面ADF；
（2）求證：AF平面ABCD；
（3）求三棱錐E-BCD的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)證明直線BC∥EF;
(2)求棱錐FOBED的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；
（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；
（3）求幾何體的體積.

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