【題目】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明: 為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.

【答案】（1） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與分類整合思想求解；（2）依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識推證.

試題解析：

（1）由題可知，. ①當(dāng)時(shí)，

令，則，令，則.

②當(dāng)時(shí)，.③當(dāng)時(shí)，令，則，令，則,綜上，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）

,,當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，與軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故.

當(dāng)時(shí)，令，則；令，則.

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，

且.要證，需證，

即證，

又，所以只需證.

即證：當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，

則在上單調(diào)遞減，

又，故.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前五項(xiàng)和，且成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，右焦點(diǎn)為,點(diǎn)分別是該橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)（與軸交點(diǎn)除外），直線交橢圓于另一點(diǎn)，記直線, 的斜率分別為

（1）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求的值；

（2）求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（Ⅱ）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．

參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ．

參考公式：相關(guān)系數(shù)，

回歸方程， ，

本題中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中， 和是邊長為的等邊三角形， ， 是中點(diǎn)， 是中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)在上的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1在△中，，、分別為線段、的中點(diǎn)，，．以為折痕，將△折起到圖2的位置，使平面⊥平面，連接，，設(shè)是線段上的動點(diǎn)，滿足．

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若二面角的大小為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才，對20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

例如表中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生是4人，由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．

（1）求、的值；

（2）從運(yùn)動協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線

若，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；

若曲線表示圓，且直線與圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會的運(yùn)動員人數(shù)分別為27，9，18，先采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會中抽取6名運(yùn)動員參加比賽．

（Ⅰ）求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員人數(shù)；

（Ⅱ）將抽取的6名運(yùn)動員進(jìn)行編號，編號分別為，從這6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽．

（ⅰ）用所給編號列出所有可能的結(jié)果；

（ⅱ）設(shè)為事件“編號為的兩名運(yùn)動員至少有一人被抽到”，求事件發(fā)生的概率．

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