(2011•黑龍江一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E為AA1的中點,F(xiàn)為BC中點.
(1)求證:直線AF∥平面BEC1;
(2)求平面BEC1和平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
分析:方法一(1)取BC1的中點為R,連接RE,RF,通過證明四邊形AFRE為平行四邊形 得出AF∥RE,再證出直線AF∥平面BEC1;
(2)延長C1E交CA延長線于點Q,連接QB,則∠C1BC為平面BEC1和平面ABC所成的銳二面角的平面角.在△BCC1中求解即可.
方法二:
(1)以點F為坐標原點,F(xiàn)A為x軸,F(xiàn)B為y軸,F(xiàn)S為z軸建立空間直角坐標系,設(shè)平面BEC1的法向量為
m
,可以利用
AF
m
來證明.
(2)利用BEC1的一個法向量與平面ABC一個法向量夾角求出二面角A-EC-F的大小.
解答:解:法一(1)取BC1的中點為R,連接RE,RF,
則RF∥CC1,AE∥CC1,且AE=RF,…(3分)
則四邊形AFRE為平行四邊形,
則AF∥RE,AF?平面REC1.RE?平面REC1.∴AF∥平面REC1.…(6分)
(2)延長C1E交CA延長線于點Q,連接QB,
則QB即為平面BEC1與平面ABC的交線,
由于EA∥C1C,E為AA1的中點,∴A為QC中點,∴QA=AC=AB,
∴∠ABCQ=∠AQB=
1
2
∠CAB=30°,
∴∠CBQ=∠CBA+∠ABQ=60°+30°=90°,
∴BC⊥BQ,又QB⊥B1B,∴QB⊥面C1CBB1,
∴C1B⊥BQ,
則∠C1BC為平面BEC1和平面ABC所成的銳二面角的平面角.…(8分)
在△BCC1中,cos∠C1BC=
BC
BC1
=
BC
BC2+CC12
2
2
5
=
5
5

平面BEC1和平面ABC所成的銳二面角的余弦值為
5
5

…(12分)
法二 取B1C1中點為S,連接FS,
以點F為坐標原點,F(xiàn)A為x軸,F(xiàn)B為y軸,F(xiàn)S為z軸建立空間直角坐標系,
A(
3
,0,0),B(0,1,0),F(xiàn)(0,0,0),C(0,-1,0)
,A1(
3
,0,4),B1(0,1,4),C(0,-1,4),E(
3
,0,2)
,…(2分)
(1)則
AF
=(-
3
,0,0)
,
BE
=(
3
,-1,2),
BC1
=(0,-2,4)
,
設(shè)平面BEC1的法向量為
m
=(x1,y1z1)
,
m
BE
=0,
m
BC1
=0
,即
3
x1-y1+2z1=0
-2y1+4z1=0
…(4分)
令y1=2,則x1=0,z1=1,即
m
=(0,2,1)
,所以
AF
m
=0
,
故直線AF∥平面BEC1.…(6分)
(2)設(shè)平面ABC的法向量
n
=(0,0,1)
,
cosθ=
m
n
|
m
||
n
|
=
5
5

由于平面BEC1和平面ABC所成二面角是銳二面角
所以其余弦值是
5
5

…(12分)
點評:本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,二面角大小求解,考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力.利用向量這一工具,解決空間幾何體問題,能夠降低思維難度.
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