Question

設(shè)矩陣A=MN，求矩陣A的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．其中 M=

1 1

2 4

，N=

1 -1

2 1

．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算

專題：矩陣和變換

分析：本題先利用矩陣乘法的定義求出矩陣A，再利用相應(yīng)的特征多項式求出向量的特征值，再利用特征值求出相應(yīng)的一個特征向量，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵矩陣M=

1 1

2 4

，N=

1 -1

2 1

，
∴矩陣A=MN=

1 1

2 4

×

1 -1

2 1

=

-1 4 -3 6

．
∴矩陣A的特征多項式為f（λ）=

.

λ+1 -4 3 λ-6

.

=（λ+1）（λ-6）+12．
令f（λ）=0，
∴（λ+1）（λ-6）+12=0，
∴λ²-5λ+6=0，
∴λ=2或λ=3．
當(dāng)λ=2時，

3x-4y=0 3x-4y=0

，取x=4，y=3，對應(yīng)的一個特征向量為ζ=

4 3

；
當(dāng)λ=3時，

4x-4y=0 3x-3y=0

，取x=1，y=1，對應(yīng)的一個特征向量為ζ=

1 1

；
∴矩陣A的特征值為λ₁=2，λ₂=3，特征向量分別為ξ1=

4 3

  ， ξ2=

1 1

．

點評：本題考查的是向量的乘法、向量的特征值、特征向量的求法，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．