已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+
3
cosx）
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若對任意x∈[0，
π
6
]，使得m[f（x）+
3
]+2=0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+
π
3
）+
3
，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，
π
6
]可得sin（2x+
π
3
）∈[
3
2
，1]，進(jìn)而可得f（x）-
3
=2sin（2x+
π
3
）∈[
3
，2]，由題意可得m的不等式組，解之可得．
解答： 解：（1）化簡可得f（x）=2cosx（sinx+
3
cosx）
=2sinxcosx+2
3
cos2x=sin2x+
3
cos2x+
3

=2sin（2x+
π
3
）+
3

∵-1≤sin（2x+
π
3
）≤1．
∴f（x）的值域?yàn)閇-2+
3
，2+
3
]，最小正周期為T=
2π
2
=π．
（2）當(dāng)x∈[0，
π
6
]時(shí)，2x+
π
3
∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴sin（2x+
π
3
）∈[
3
2
，1]
∴f（x）-
3
=2sin（2x+
π
3
）∈[
3
，2]．
由m[f（x）-
3
]+2=0知m≠0，∴f（x）-
3
=-
2
m
，即
3
≤-
2
m
≤2，
解得-
2
3
3
≤m≤-1．即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-
2
3
3
，-1]
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和為Sn，滿足Sn=2an-2n（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an+2
，Tn為數(shù)列{bn}的前項(xiàng)n和，求
lim
n→∞
Tn的值；
（3）數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)ar，as，at（r＜s＜t）成等差數(shù)列？若存在．請求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線x+2ay-1=0與（a-1）x+ay+1=0平行，則a等于（　　）
A、
3
2
B、
3
2
或0
C、0
D、-2或0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知logm4＜logn4，比較m與n的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+
a
x
，常數(shù)a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面4個(gè)命題：
①若直線a與b異面，b與c異面，則a與c異面
②若直線a與b相交，b與c相交，則a與c相交
③若直線a∥b，b∥c，則a∥b∥c
④若直線a∥b，則a，b與直線c所成的角相等． 
其中真命題的個(gè)數(shù)是 （　�。�
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，-2），
b
=（-2，1-m），若
a
∥
b
，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�
A、3B、-3C、2D、-2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)B（-b，0），E（
m+b
2
，
n
2
），求BE的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某家庭注重家庭理財(cái)，從2001年元旦起，每年元旦向銀行存款a萬元，年利率為r，辦理一年定期儲蓄，以后按約定自動轉(zhuǎn)存，計(jì)算此家庭到2014年元旦去取錢，所得的本利和為多少？

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案