Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)MP與直線(xiàn)NP的斜率之積為.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求曲線(xiàn)C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得直線(xiàn)QA與直線(xiàn)QB恰好關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)；（2）存在，

【解析】

（1）寫(xiě)出斜率，根據(jù)斜率之積為建立方程，化簡(jiǎn)即可；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立整理得，設(shè)，，定點(diǎn)（依題意）.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，由直線(xiàn)與直線(xiàn)恰好關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，代入可得.

（1）由題設(shè)可得，，，則，化簡(jiǎn)得. ，

所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn).

（2）存在定點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)QA與直線(xiàn)QB恰好關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

由題設(shè)知，直線(xiàn)l的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

與橢圓C的方程聯(lián)立整理得，設(shè)，，定點(diǎn)（依題意）.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，

直線(xiàn)與直線(xiàn)恰好關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，

所以，即.

又，，所以整理得.

從而可得即，

所以當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)恰好關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

所以，在軸上存在點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)與直線(xiàn)恰好關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)