Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項和為．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）如果數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，請證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)a₁=S₁求得a₁，再根據(jù)a₁+a₂=S₂求得a₂．
（Ⅱ）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，代入即可求得a_n．進而根據(jù)求得a_n-a_n-1為常數(shù)說明數(shù)列{a_n}是以5為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅲ）把a_n代入求得結(jié)果為常數(shù)，可推知數(shù)列{b_n}等比數(shù)列．根據(jù)求得首項，根據(jù)=8求得公比，進而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）a₁=S₁=5，，
解得a₂=8．
（Ⅱ）當n≥2時，=．
又a₁=5滿足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是以5為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由已知得（n∈N^*），
∵（n∈N^*），
又，
∴數(shù)列{b_n}是以32為首項，8為公比的等比數(shù)列．
∴．
點評：本題主要考查了等比和等差數(shù)列的確定．關(guān)鍵是找到相鄰兩項的關(guān)系．